數論與表示函數?

math.ceil(x)?

Return the ceiling of x, the smallest integer greater than or equal to x. If x is not a float, delegates to x.__ceil__, which should return an Integral value.

math.comb(n, k)?

返回不重復且無(wú)順序地從 n 項中選擇 k 項的方式總數。

當 k <= n 時(shí)取值為 n! / (k! * (n - k)!)；當 k > n 時(shí)取值為零。

也稱(chēng)為二項式系數，因為它等價(jià)于表達式 (1 + x) ** n 的多項式展開(kāi)中第 k 項的系數。

如果任一參數不為整數則會(huì )引發(fā) TypeError。 如果任一參數為負數則會(huì )引發(fā) ValueError。

3.8 新版功能.

math.copysign(x, y)?

返回一個(gè)基于 x 的絕對值和 y 的符號的浮點(diǎn)數。在支持帶符號零的平臺上，copysign(1.0, -0.0) 返回 -1.0.

math.fabs(x)?

返回 x 的絕對值。

math.factorial(n)?

Return n factorial as an integer. Raises ValueError if n is not integral or is negative.

3.9 版后已移除: 接受具有整數值的浮點(diǎn)數 (例如 5.0) 的行為已被棄用。

math.floor(x)?

Return the floor of x, the largest integer less than or equal to x. If x is not a float, delegates to x.__floor__, which should return an Integral value.

math.fmod(x, y)?

返回 fmod(x, y) ，由平臺C庫定義。請注意，Python表達式 x % y 可能不會(huì )返回相同的結果。C標準的目的是 fmod(x, y) 完全（數學(xué)上；到無(wú)限精度）等于 x - n*y 對于某個(gè)整數 n ，使得結果具有 與 x 相同的符號和小于 abs(y) 的幅度。Python的 x % y 返回帶有 y 符號的結果，并且可能不能完全計算浮點(diǎn)參數。 例如， fmod(-1e-100, 1e100) 是 -1e-100 ，但Python的 -1e-100 % 1e100 的結果是 1e100-1e-100 ，它不能完全表示為浮點(diǎn)數，并且取整為令人驚訝的 1e100 。 出于這個(gè)原因，函數 fmod() 在使用浮點(diǎn)數時(shí)通常是首選，而Python的 x % y 在使用整數時(shí)是首選。

math.frexp(x)?

以 (m, e) 對的形式返回 x 的尾數和指數。 m 是一個(gè)浮點(diǎn)數， e 是一個(gè)整數，正好是 x == m * 2**e 。 如果 x 為零，則返回 (0.0, 0) ，否則返回 0.5 <= abs(m) < 1 。這用于以可移植方式“分離”浮點(diǎn)數的內部表示。

math.fsum(iterable)?

返回迭代中的精確浮點(diǎn)值。通過(guò)跟蹤多個(gè)中間部分和來(lái)避免精度損失:

>>>

>>> sum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
0.9999999999999999
>>> fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
1.0

該算法的準確性取決于IEEE-754算術(shù)保證和舍入模式為半偶的典型情況。在某些非Windows版本中，底層C庫使用擴展精度添加，并且有時(shí)可能會(huì )使中間和加倍，導致它在最低有效位中關(guān)閉。

有關(guān)待進(jìn)一步討論和兩種替代方法，參見(jiàn) ASPN cookbook recipes for accurate floating point summation。

math.gcd(*integers)?

返回給定的整數參數的最大公約數。 如果有一個(gè)參數非零，則返回值將是能同時(shí)整除所有參數的最大正整數。 如果所有參數為零，則返回值為 0。 不帶參數的 gcd() 返回 0。

3.5 新版功能.

在 3.9 版更改: 添加了對任意數量的參數的支持。 之前的版本只支持兩個(gè)參數。

math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)?

若 a 和 b 的值比較接近則返回 True，否則返回 False。

根據給定的絕對和相對容差確定兩個(gè)值是否被認為是接近的。

rel_tol 是相對容差 —— 它是 a 和 b 之間允許的最大差值，相對于 a 或 b 的較大絕對值。例如，要設置5％的容差，請傳遞 rel_tol=0.05 。默認容差為 1e-09，確保兩個(gè)值在大約9位十進(jìn)制數字內相同。 rel_tol 必須大于零。

abs_tol 是最小絕對容差 —— 對于接近零的比較很有用。 abs_tol 必須至少為零。

如果沒(méi)有錯誤發(fā)生，結果將是： abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol) 。

IEEE 754特殊值 NaN ， inf 和 -inf 將根據IEEE規則處理。具體來(lái)說(shuō)， NaN 不被認為接近任何其他值，包括 NaN 。 inf 和 -inf 只被認為接近自己。

3.5 新版功能.

參見(jiàn)

PEP 485 —— 用于測試近似相等的函數

math.isfinite(x)?

如果 x 既不是無(wú)窮大也不是NaN，則返回 True ，否則返回 False 。 （注意 0.0 被認為 是 有限的。）

3.2 新版功能.

math.isinf(x)?

如果 x 是正或負無(wú)窮大，則返回 True ，否則返回 False 。

math.isnan(x)?

如果 x 是 NaN（不是數字），則返回 True ，否則返回 False 。

math.isqrt(n)?

返回非負整數 n 的整數平方根。 這就是對 n 的實(shí)際平方根向下取整，或者相當于使得 a2 ≤ n 的最大整數 a。

對于某些應用來(lái)說(shuō)，可以更適合取值為使得 n ≤ a2 的最小整數 a ，或者換句話(huà)說(shuō)就是 n 的實(shí)際平方根向上取整。 對于正數 n，這可以使用 a = 1 + isqrt(n - 1) 來(lái)計算。

3.8 新版功能.

math.lcm(*integers)?

返回給定的整數參數的最小公倍數。 如果所有參數均非零，則返回值將是為所有參數的整數倍的最小正整數。 如果參數之一為零，則返回值為 0。 不帶參數的 lcm() 返回 1。

3.9 新版功能.

math.ldexp(x, i)?

返回 x * (2**i) 。 這基本上是函數 frexp() 的反函數。

math.modf(x)?

返回 x 的小數和整數部分。兩個(gè)結果都帶有 x 的符號并且是浮點(diǎn)數。

math.nextafter(x, y)?

返回 x 趨向于 y 的最接近的浮點(diǎn)數值。

如果 x 等于 y 則返回 y。

示例：

• math.nextafter(x, math.inf) 的方向朝上：趨向于正無(wú)窮。

• math.nextafter(x, -math.inf) 的方向朝下：趨向于負無(wú)窮。

• math.nextafter(x, 0.0) 趨向于零。

• math.nextafter(x, math.copysign(math.inf, x)) 趨向于零的反方向。

另請參閱 math.ulp()。

3.9 新版功能.

math.perm(n, k=None)?

返回不重復且有順序地從 n 項中選擇 k 項的方式總數。

當 k <= n 時(shí)取值為 n! / (n - k)!；當 k > n 時(shí)取值為零。

如果 k 未指定或為 None，則 k 默認值為 n 并且函數將返回 n!。

如果任一參數不為整數則會(huì )引發(fā) TypeError。 如果任一參數為負數則會(huì )引發(fā) ValueError。

3.8 新版功能.

math.prod(iterable, *, start=1)?

計算輸入的 iterable 中所有元素的積。 積的默認 start 值為 1。

當可迭代對象為空時(shí)，返回起始值。 此函數特別針對數字值使用，并會(huì )拒絕非數字類(lèi)型。

3.8 新版功能.

math.remainder(x, y)?

返回 IEEE 754 風(fēng)格的 x 相對于 y 的余數。對于有限 x 和有限非零 y ，這是差異 x - n*y ，其中 n 是與商 x / y 的精確值最接近的整數。如果 x / y 恰好位于兩個(gè)連續整數之間，則將最接近的 偶數 用作 n 。 余數 r = remainder(x, y) 因此總是滿(mǎn)足 abs(r) <= 0.5 * abs(y)。

特殊情況遵循IEEE 754：特別是 remainder(x, math.inf) 對于任何有限 x 都是 x ，而 remainder(x, 0) 和 remainder(math.inf, x) 引發(fā) ValueError 適用于任何非NaN的 x 。如果余數運算的結果為零，則該零將具有與 x 相同的符號。

在使用IEEE 754二進(jìn)制浮點(diǎn)的平臺上，此操作的結果始終可以完全表示：不會(huì )引入舍入錯誤。

3.7 新版功能.

math.trunc(x)?

Return x with the fractional part removed, leaving the integer part. This rounds toward 0: trunc() is equivalent to floor() for positive x, and equivalent to ceil() for negative x. If x is not a float, delegates to x.__trunc__, which should return an Integral value.

math.ulp(x)?

返回浮點(diǎn)數 x 的最小有效比特位的值:

• 如果 x 是 NaN (非數字)，則返回 x。

• 如果 x 為負數，則返回 ulp(-x)。

• 如果 x 為正數，則返回 x。

• 如果 x 等于零，則返回 去正規化的 可表示最小正浮點(diǎn)數 (小于 正規化的 最小正浮點(diǎn)數 sys.float_info.min)。

• 如果 x 等于可表示最大正浮點(diǎn)數，則返回 x 的最低有效比特位的值，使得小于 x 的第一個(gè)浮點(diǎn)數為 x - ulp(x)。

• 在其他情況下 (x 是一個(gè)有限的正數)，則返回 x 的最低有效比特位的值，使得大于 x 的第一個(gè)浮點(diǎn)數為 x + ulp(x)。

ULP 即 "Unit in the Last Place" 的縮寫(xiě)。

另請參閱 math.nextafter() 和 sys.float_info.epsilon。

3.9 新版功能.

注意 frexp() 和 modf() 具有與它們的C等價(jià)函數不同的調用/返回模式：它們采用單個(gè)參數并返回一對值，而不是通過(guò) '輸出形參' 返回它們的第二個(gè)返回參數（Python中沒(méi)有這樣的東西）。

對于 ceil() ， floor() 和 modf() 函數，請注意 所有 足夠大的浮點(diǎn)數都是精確整數。Python浮點(diǎn)數通常不超過(guò)53位的精度（與平臺C double類(lèi)型相同），在這種情況下，任何浮點(diǎn) x 與 abs(x) >= 2**52 必然沒(méi)有小數位。

冪函數與對數函數?

math.cbrt(x)?

Return the cube root of x.

3.11 新版功能.

math.exp(x)?

返回 e 次 x 冪，其中 e = 2.718281... 是自然對數的基數。這通常比 math.e ** x 或 pow(math.e, x) 更精確。

math.exp2(x)?

Return 2 raised to the power x.

3.11 新版功能.

math.expm1(x)?

返回 e 的 x 次冪，減1。這里 e 是自然對數的基數。對于小浮點(diǎn)數 x ， exp(x) - 1 中的減法可能導致 significant loss of precision； expm1() 函數提供了一種將此數量計算為全精度的方法:

>>>

>>> from math import exp, expm1
>>> exp(1e-5) - 1  # gives result accurate to 11 places
1.0000050000069649e-05
>>> expm1(1e-5)    # result accurate to full precision
1.0000050000166668e-05

3.2 新版功能.

math.log(x[, base])?

使用一個(gè)參數，返回 x 的自然對數（底為 e ）。

使用兩個(gè)參數，返回給定的 base 的對數 x ，計算為 log(x)/log(base) 。

math.log1p(x)?

返回 1+x 的自然對數（以 e 為底）。 以對于接近零的 x 精確的方式計算結果。

math.log2(x)?

返回 x 以2為底的對數。這通常比 log(x, 2) 更準確。

3.3 新版功能.

參見(jiàn)

int.bit_length() 返回表示二進(jìn)制整數所需的位數，不包括符號和前導零。

math.log10(x)?

返回 x 底為10的對數。這通常比 log(x, 10) 更準確。

math.pow(x, y)?

Return x raised to the power y. Exceptional cases follow the IEEE 754 standard as far as possible. In particular, pow(1.0, x) and pow(x, 0.0) always return 1.0, even when x is a zero or a NaN. If both x and y are finite, x is negative, and y is not an integer then pow(x, y) is undefined, and raises ValueError.

與內置的 ** 運算符不同， math.pow() 將其參數轉換為 float 類(lèi)型。使用 ** 或內置的 pow() 函數來(lái)計算精確的整數冪。

在 3.11 版更改: The special cases pow(0.0, -inf) and pow(-0.0, -inf) were changed to return inf instead of raising ValueError, for consistency with IEEE 754.

math.sqrt(x)?

返回 x 的平方根。

三角函數?

math.acos(x)?

返回以弧度為單位的 x 的反余弦值。 結果范圍在 0 到 pi 之間。

math.asin(x)?

返回以弧度為單位的 x 的反正弦值。 結果范圍在 -pi/2 到 pi/2 之間。

math.atan(x)?

返回以弧度為單位的 x 的反正切值。 結果范圍在 -pi/2 到 pi/2 之間。.

math.atan2(y, x)?

以弧度為單位返回 atan(y / x) 。結果是在 -pi 和 pi 之間。從原點(diǎn)到點(diǎn) (x, y) 的平面矢量使該角度與正X軸成正比。 atan2() 的點(diǎn)的兩個(gè)輸入的符號都是已知的，因此它可以計算角度的正確象限。 例如， atan(1) 和 atan2(1, 1) 都是 pi/4 ，但 atan2(-1, -1) 是 -3*pi/4 。

math.cos(x)?

返回 x 弧度的余弦值。

math.dist(p, q)?

返回 p 與 q 兩點(diǎn)之間的歐幾里得距離，以一個(gè)坐標序列（或可迭代對象）的形式給出。 兩個(gè)點(diǎn)必須具有相同的維度。

大致相當于：

sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q)))

3.8 新版功能.

math.hypot(*coordinates)?

返回歐幾里得范數，sqrt(sum(x**2 for x in coordinates))。 這是從原點(diǎn)到坐標給定點(diǎn)的向量長(cháng)度。

對于一個(gè)二維點(diǎn) (x, y)，這等價(jià)于使用畢達哥拉斯定義 sqrt(x*x + y*y) 計算一個(gè)直角三角形的斜邊。

在 3.8 版更改: 添加了對 n 維點(diǎn)的支持。 之前的版本只支持二維點(diǎn)。

在 3.10 版更改: 改進(jìn)了算法的精確性，使得最大誤差在 1 ulp (最后一位的單位數值) 以下。 更為常見(jiàn)的情況是，結果幾乎總是能正確地舍入到 1/2 ulp 范圍之內。

math.sin(x)?

返回 x 弧度的正弦值。

math.tan(x)?

返回 x 弧度的正切值。

角度轉換?

math.degrees(x)?

將角度 x 從弧度轉換為度數。

math.radians(x)?

將角度 x 從度數轉換為弧度。

雙曲函數?

雙曲函數 是基于雙曲線(xiàn)而非圓來(lái)對三角函數進(jìn)行模擬。

math.acosh(x)?

返回 x 的反雙曲余弦值。

math.asinh(x)?

返回 x 的反雙曲正弦值。

math.atanh(x)?

返回 x 的反雙曲正切值。

math.cosh(x)?

返回 x 的雙曲余弦值。

math.sinh(x)?

返回 x 的雙曲正弦值。

math.tanh(x)?

返回 x 的雙曲正切值。

特殊函數?

math.erf(x)?

返回 x 處的 error function 。

erf() 函數可用于計算傳統的統計函數，如 累積標準正態(tài)分布

def phi(x):
    'Cumulative distribution function for the standard normal distribution'
    return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0

3.2 新版功能.

math.erfc(x)?

返回 x 處的互補誤差函數。 互補錯誤函數 定義為 1.0 - erf(x)。 它用于 x 的大值，從其中減去一個(gè)會(huì )導致 有效位數損失。

3.2 新版功能.

math.gamma(x)?

返回 x 處的 伽馬函數 值。

3.2 新版功能.

math.lgamma(x)?

返回Gamma函數在 x 絕對值的自然對數。

3.2 新版功能.

常量?

math.pi?

數學(xué)常數 π = 3.141592...，精確到可用精度。

math.e?

數學(xué)常數 e = 2.718281...，精確到可用精度。

math.tau?

數學(xué)常數 τ = 6.283185...，精確到可用精度。Tau 是一個(gè)圓周常數，等于 2π，圓的周長(cháng)與半徑之比。更多關(guān)于 Tau 的信息可參考 Vi Hart 的視頻 Pi is (still) Wrong。吃?xún)杀抖嗟呐蓙?lái)慶祝 Tau 日 吧！

3.6 新版功能.

math.inf?

浮點(diǎn)正無(wú)窮大。 （對于負無(wú)窮大，使用 -math.inf 。）相當于 float('inf') 的輸出。

3.5 新版功能.

math.nan?

A floating-point "not a number" (NaN) value. Equivalent to the output of float('nan'). Due to the requirements of the IEEE-754 standard, math.nan and float('nan') are not considered to equal to any other numeric value, including themselves. To check whether a number is a NaN, use the isnan() function to test for NaNs instead of is or ==. Example:

>>>

>>> import math
>>> math.nan == math.nan
False
>>> float('nan') == float('nan')
False
>>> math.isnan(math.nan)
True
>>> math.isnan(float('nan'))
True

在 3.11 版更改: It is now always available.

3.5 新版功能.