15. 浮點(diǎn)算術(shù)：爭議和限制?

Floating-point numbers are represented in computer hardware as base 2 (binary) fractions. For example, the decimal fraction 0.125 has value 1/10 + 2/100 + 5/1000, and in the same way the binary fraction 0.001 has value 0/2 + 0/4 + 1/8. These two fractions have identical values, the only real difference being that the first is written in base 10 fractional notation, and the second in base 2.

不幸的是，大多數的十進(jìn)制小數都不能精確地表示為二進(jìn)制小數。這導致在大多數情況下，你輸入的十進(jìn)制浮點(diǎn)數都只能近似地以二進(jìn)制浮點(diǎn)數形式儲存在計算機中。

用十進(jìn)制來(lái)理解這個(gè)問(wèn)題顯得更加容易一些?？紤]分數 1/3 。我們可以得到它在十進(jìn)制下的一個(gè)近似值

0.3

或者，更近似的，:

0.33

或者，更近似的，:

0.333

以此類(lèi)推。結果是無(wú)論你寫(xiě)下多少的數字，它都永遠不會(huì )等于 1/3 ，只是更加更加地接近 1/3 。

同樣的道理，無(wú)論你使用多少位以 2 為基數的數碼，十進(jìn)制的 0.1 都無(wú)法精確地表示為一個(gè)以 2 為基數的小數。 在以 2 為基數的情況下， 1/10 是一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數

0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

在任何一個(gè)位置停下，你都只能得到一個(gè)近似值。因此，在今天的大部分架構上，浮點(diǎn)數都只能近似地使用二進(jìn)制小數表示，對應分數的分子使用每 8 字節的前 53 位表示，分母則表示為 2 的冪次。在 1/10 這個(gè)例子中，相應的二進(jìn)制分數是 3602879701896397 / 2 ** 55 ，它很接近 1/10 ，但并不是 1/10 。

大部分用戶(hù)都不會(huì )意識到這個(gè)差異的存在，因為 Python 只會(huì )打印計算機中存儲的二進(jìn)制值的十進(jìn)制近似值。在大部分計算機中，如果 Python 想把 0.1 的二進(jìn)制對應的精確十進(jìn)制打印出來(lái)，將會(huì )變成這樣

>>> 0.1
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

這比大多數人認為有用的數字更多，因此Python通過(guò)顯示舍入值來(lái)保持可管理的位數

>>> 1 / 10
0.1

牢記，即使輸出的結果看起來(lái)好像就是 1/10 的精確值，實(shí)際儲存的值只是最接近 1/10 的計算機可表示的二進(jìn)制分數。

有趣的是，有許多不同的十進(jìn)制數共享相同的最接近的近似二進(jìn)制小數。例如， 0.1 、 0.10000000000000001 、 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 全都近似于 3602879701896397 / 2 ** 55 。由于所有這些十進(jìn)制值都具有相同的近似值，因此可以顯示其中任何一個(gè)，同時(shí)仍然保留不變的 eval(repr(x)) == x 。

在歷史上，Python 提示符和內置的 repr() 函數會(huì )選擇具有 17 位有效數字的來(lái)顯示，即 0.10000000000000001。 從 Python 3.1 開(kāi)始，Python（在大多數系統上）現在能夠選擇這些表示中最短的并簡(jiǎn)單地顯示 0.1 。

請注意這種情況是二進(jìn)制浮點(diǎn)數的本質(zhì)特性：它不是 Python 的錯誤，也不是你代碼中的錯誤。 你會(huì )在所有支持你的硬件中的浮點(diǎn)運算的語(yǔ)言中發(fā)現同樣的情況（雖然某些語(yǔ)言在默認狀態(tài)或所有輸出模塊下都不會(huì ) 顯示 這種差異）。

想要更美觀(guān)的輸出，你可能會(huì )希望使用字符串格式化來(lái)產(chǎn)生限定長(cháng)度的有效位數:

>>> format(math.pi, '.12g')  # give 12 significant digits
'3.14159265359'

>>> format(math.pi, '.2f')   # give 2 digits after the point
'3.14'

>>> repr(math.pi)
'3.141592653589793'

必須重點(diǎn)了解的是，這在實(shí)際上只是一個(gè)假象：你只是將真正的機器碼值進(jìn)行了舍入操作再 顯示 而已。

一個(gè)假象還可能導致另一個(gè)假象。 例如，由于這個(gè) 0.1 并非真正的 1/10，將三個(gè) 0.1 的值相加也不一定能恰好得到 0.3:

>>> .1 + .1 + .1 == .3
False

而且，由于這個(gè) 0.1 無(wú)法精確表示 1/10 的值而這個(gè) 0.3 也無(wú)法精確表示 3/10 的值，使用 round() 函數進(jìn)行預先舍入也是沒(méi)用的:

>>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)
False

雖然這些小數無(wú)法精確表示其所要代表的實(shí)際值，round() 函數還是可以用來(lái)“事后舍入”，使得實(shí)際的結果值可以做相互比較:

>>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)
True

Binary floating-point arithmetic holds many surprises like this. The problem with "0.1" is explained in precise detail below, in the "Representation Error" section. See The Perils of Floating Point for a more complete account of other common surprises.

正如那篇文章的結尾所言，“對此問(wèn)題并無(wú)簡(jiǎn)單的答案?！?但是也不必過(guò)于擔心浮點(diǎn)數的問(wèn)題！ Python 浮點(diǎn)運算中的錯誤是從浮點(diǎn)運算硬件繼承而來(lái)，而在大多數機器上每次浮點(diǎn)運算得到的 2**53 數碼位都會(huì )被作為 1 個(gè)整體來(lái)處理。 這對大多數任務(wù)來(lái)說(shuō)都已足夠，但你確實(shí)需要記住它并非十進(jìn)制算術(shù)，且每次浮點(diǎn)運算都可能會(huì )導致新的舍入錯誤。

雖然病態(tài)的情況確實(shí)存在，但對于大多數正常的浮點(diǎn)運算使用來(lái)說(shuō)，你只需簡(jiǎn)單地將最終顯示的結果舍入為你期望的十進(jìn)制數值即可得到你期望的結果。 str() 通常已足夠，對于更精度的控制可參看 格式字符串語(yǔ)法 中 str.format() 方法的格式描述符。

對于需要精確十進(jìn)制表示的使用場(chǎng)景，請嘗試使用 decimal 模塊，該模塊實(shí)現了適合會(huì )計應用和高精度應用的十進(jìn)制運算。

另一種形式的精確運算由 fractions 模塊提供支持，該模塊實(shí)現了基于有理數的算術(shù)運算（因此可以精確表示像 1/3 這樣的數值）。

如果你是浮點(diǎn)運算的重度用戶(hù)則你應當了解一下 NumPy 包以及由 SciPy 項目所提供的許多其他數字和統計運算包。 參見(jiàn) <https://scipy.org>。

Python 也提供了一些工具，可以在你真的 想要 知道一個(gè)浮點(diǎn)數精確值的少數情況下提供幫助。 例如 float.as_integer_ratio() 方法會(huì )將浮點(diǎn)數表示為一個(gè)分數:

>>> x = 3.14159
>>> x.as_integer_ratio()
(3537115888337719, 1125899906842624)

由于這是一個(gè)精確的比值，它可以被用來(lái)無(wú)損地重建原始值:

>>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
True

float.hex() 方法會(huì )以十六進(jìn)制（以 16 為基數）來(lái)表示浮點(diǎn)數，同樣能給出保存在你的計算機中的精確值:

>>> x.hex()
'0x1.921f9f01b866ep+1'

這種精確的十六進(jìn)制表示法可被用來(lái)精確地重建浮點(diǎn)值:

>>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
True

由于這種表示法是精確的，它適用于跨越不同版本（平臺無(wú)關(guān)）的 Python 移植數值，以及與支持相同格式的其他語(yǔ)言（例如 Java 和 C99）交換數據.

另一個(gè)有用的工具是 math.fsum() 函數，它有助于減少求和過(guò)程中的精度損失。 它會(huì )在數值被添加到總計值的時(shí)候跟蹤“丟失的位”。 這可以很好地保持總計值的精確度， 使得錯誤不會(huì )積累到能影響結果總數的程度:

>>> sum([0.1] * 10) == 1.0
False
>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
True

1 / 10 ~= J / (2**N)

J ~= 2**N / 10

>>> 2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53
True

>>> q, r = divmod(2**56, 10)
>>> r
6

>>> q+1
7205759403792794

7205759403792794 / 2 ** 56

3602879701896397 / 2 ** 55

>>> 0.1 * 2 ** 55
3602879701896397.0

>>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

>>> format(0.1, '.17f')
'0.10000000000000001'

>>> from decimal import Decimal
>>> from fractions import Fraction

>>> Fraction.from_float(0.1)
Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)

>>> (0.1).as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)

>>> Decimal.from_float(0.1)
Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')

>>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
'0.10000000000000001'